Fiche - Ensemble de définition

IQu-est ce que c'est ?

Prenons une fonction \(f\) et un nombre \(x\) : si on peut calculer \(f (x)\), alors \(x\) est dans l'ensemble de définition \(D_f\).

Avec \(f (x) = \frac{1}{x}\) :

Pour \(x=2\). On peut calculer \(f (2) = \frac{1}{2} = 0,5\). Donc \(2\) est dans l'ensemble de définition \(D_f\)
Pour \(x=0\). Il est interdit de diviser par \(0\). Donc \(0\) n'est pas dans \(D_f\)

L'ensemble de définition d'une fonction \(f\) regroupe tous les \(x\) réels tels qu'il est permis de calculer \(f (x)\)

Quand il est possible de calculer \(f (x)\) pour tout \(x\) réel, alors l'ensemble de définition est \(\mathbb{R}\) entier.

\(f (x) = 3 x - 1\) et toutes les fonctions affines ont \(\mathbb{R}\) comme ensemble de définition.

IILes fonctions qui posent problème

La fonction inverse \(f (x)=\frac{1}{x}\) est calculable pour tout \(x\) sauf \(0\) car on ne divise jamais par \(0\). On a donc \(D_f = \mathbb{R}\backslash\{0\}\)
Les fonctions homographiques \(f (x)=\frac{c x + d}{a x + b}\) est calculable pour tout \(x\) sauf \(\frac{-b}{a}\) qui annule le dénominateur. On a donc \(D_f = \mathbb{R}\backslash\{\frac{-b}{a}\}\)

On cherche les \(x\) qui posent problème en résolvant une équation. L'ensemble de définition est \(\mathbb{R}\) auquel on retire tous les nombres problématiques.

Fonction \(f\)	On résoud :	Calcul impossible si :	Donc possible si :	Ensemble de définition :
\(f (x) = \frac{1}{x - 1}\)	\(x-1=0\)	\(x=1\)	\(x\neq 1\)	\(\mathbb{R}\backslash\{0\}\)
\(f (x) = \frac{2 x + 1}{3x + 2}\)	\(3x+2=0\)	\(x=\frac{-2}{3}\)	\(x\neq \frac{-2}{3}\)	\(\mathbb{R}\backslash\{\frac{-2}{3}\}\)
\(f (x) = \frac{2 x + 1}{(x + 2)(x-1)}\)	\((x+2)(x-1)=0\)	\(x=-2\) ou \(x=1\)	\(x\neq -2\) et \(x\neq 1\)	\(\mathbb{R}\backslash\{-2;1\}\)
\(f (x) = 3 x + 4\)	toujours possible	-	-	\(\mathbb{R}\)
\(f (x) = (x+2)^2\)	toujours possible	-	-	\(\mathbb{R}\)